関数

$y=ax^2+bx+c$
軸 直線$x=-\frac{b}{2a}$,頂点 点$(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})$

2次関数の最大と最小
$y=a(x-p)^2+q$
a>0 x=pで最小値q
a<0 x=pで最大値q

2次方程式の解の公式
$ax^2+bx+c=0$の解は,$b^2-4ac\geq0$のとき
$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

判別式D : $b^2-4ac$
D>0 異なる2つの実数解をもつ
D=0 ただ１つの実数解(重解)をもつ
D<0 実数解をもたない

x軸
D>0 異なる２点で交わる
D=0 １点で接する
D<0 共有点をもたない

a>0 かつ D>0 $ax^2+bx+c=0$の異なる2つの実数解をα,βとする。

• $ax^2+bx+c=0>0,x<α,β<x$
• $ax^2+bx+c=0\geq0,x\leqα,β\leq x$
• $ax^2+bx+c=0<0,α<x<β$
• $ax^2+bx+c=0\leq0,α\leq x\leqβ$

α<βのとき

• (x-α)(x-β)>0 x<α,β<x
• (x-α)(x-β)<0 α<x<β

a>0 かつ D=0 $ax^2+bx+c=0$の重解をαとする。

• $ax^2+bx+c=0>0,α以外のすべての実数$
• $ax^2+bx+c=0\geq0,すべての実数$
• $ax^2+bx+c=0<0,なし$
• $ax^2+bx+c=0\leq0,x=α$

a>0 かつ D<0

• $ax^2+bx+c=0>0,すべての実数$
• $ax^2+bx+c=0\geq0,すべての実数$
• $ax^2+bx+c=0<0,なし$
• $ax^2+bx+c=0\leq0,なし$